Curran s-a născut în Glasgow, Scoția. Este absolvent al Holyrood Secondary School și a terminat Academia Regală Scoțiană de Muzică și Dramă.
Tony a devenit cunoscut datorită serialului de televiziune BBC This Life. De atunci, starul scoțian a apărut în numeroase roluri importante în filme și televiziune.
Unele dintre rolurile sale includ Omul Invizibil în The League of Extraordinary Gentlemen. Pentru a-l interpreta pe Omul Invizibil, a purtat un costum special care l-a transformat într-un bluescreen umblător (conform comentariului său de pe DVD, arăta ca un "smurf pe acid"). Curran a jucat de asemenea vampirul numit Priest în Blade II, regizat de Guillermo del Toro.
Curran este activ în participarea la maratoane pentru a strânge fonduri pentru caritate. Este un mare fan al clubului de fotbal Celtic.
Este un participant frecvent și popular la evenimentul anual Dressed To Kilt din New York, organizat de organizația Friends of Scotland în celebrarea Tartan Week.
În aprilie 2009, Curran a dezvăluit ziarului Daily Record că joacă rolul locotenentului Delcourt în The Adventures of Tintin: Secret of the Unicorn, care urmează să fie lansat în 2011.
Curran l-a interpretat pe pictorul Vincent Van Gogh în episodul Doctor Who "Vincent and the Doctor", scris de Richard Curtis. De asemenea, a avut o apariție cameo în "The Pandorica Opens".